MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 1: FUNCIONES, UN UNIVERSO DE POSIBILIDADES - Canal Hablamos

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27 junio 2015

MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 1: FUNCIONES, UN UNIVERSO DE POSIBILIDADES

Fuente: blogs.20minutos.es



Autor: Manuel  V.  Montesinos
1.-FUNCIONES  DE  UNA  VARIABLE  REAL

Estudiar  Matemáticas  es  como  realizar  una  construcción: hay  que  fijar  bien  los  cimientos  para  no  encontrarse  con  problemas  al  llegar  al  tejado.  Por  eso  empezaremos  repasando  una  serie  de  contenidos  básicos  que  nos  permitan  avanzar  con  fluidez  más  adelante.  Se  trata  de  temas  muy  sencillos,  cubiertos  por  los  planes  de  estudio  de  ESO  y  Bachillerato,  por  lo  que  su  comprensión  no  debería  presentar  problemas.  Si  es  así,  existen  a  nuestra  disposición  multitud  de  fuentes  capaces  de  resolver  nuestras  dudas,  entre  ellas  el  autor  de  estas  líneas,  por  supuesto.

A  lo  largo  de  varios  capítulos  vamos  a  centrarnos  en  el  Cálculo,  es  decir,  vamos  a  aprender  a  desenvolvernos  en  contextos  donde  partiendo  de  una  serie  de  datos  podemos  llegar  al  resultado  que  se  deduce  de  estos.  En  otras  palabras,  nos  ocuparemos  de  la  parte  de  las  Matemáticas  que  tiene  que  ver  con  las  funciones.

¿Qué  es  una  función?  Comenzando  con  las  funciones  de  una  variable,  las  más  sencillas,  una  manera  de  definirlas  sería  decir  que  una  función  de  una  variable  real  x  con  dominio  D  es  una  regla  que  asigna  un  único  número  real  a  cada  número  x  en  D.  Para  entenderlo  mejor,  lo  que  hace  una  función  es  devolverte  un  número  después  de  que  tú  le  hayas  dado  otro.  Es  como  contar  un  chiste  y  que  la  persona  que  te  ha  escuchado  se  ría  (o  no,  si  ha  sido  malo).  Un  mecanismo  que  produce  un  output  a  partir  de  input,  una  consecuencia  a  partir  de  una  causa.

Normalmente,  las  funciones  se  expresan  de  esta  manera:

y = f(x)

Esta  expresión  quiere  decir  que  y  es  función  de  x  (siguiendo  con  el  ejemplo,  x  es  el  chiste  e  y  son  las  carcajadas).  Para  profundizar  un  poco  más,  x  en  esta  función  recibe  el  nombre  de  variable  independiente  o  exógena  (hay  quien  la  conoce  como  argumento,  también)  e  y  es  la  variable  dependiente  o  endógena,  ya  que  el  valor  de  y  depende  del  que  ha  tomado  x  (las  carcajadas  dependen  del  chiste,  a  no  ser  que  andes  un  poco  tocado  y  te  rías  solo,  claro).  Un  ejemplo  muy  sencillo  de  función  sería  este:

y = 2x + 1
x
0
1
2
3
4
y
1
3
5
7
9

Como  podemos  observar,  al  asignar  el   valor  0  a  nuestra  función,  esta  nos  devuelve  el  valor  1  (2 x 0 + 1 = 1);  al  darle  el  1  hemos  obtenido  el  3  (2 x 1 + 1),  y  así  sucesivamente.

Pues  bien,  todos  los  valores  que  podemos  asignar  como  variable  independiente  a  la  función  siempre  que  esta  tenga  sentido  constituyen  un  conjunto  al  que  se  conoce  comúnmente  como  dominio.  Mientras  tanto,  el  conjunto  de  todos  los  valores  que  devuelve  la  función  se  llama  rango.  En  el  ejemplo  anterior  0,  1,  2,  3  y  4  serían  solo  unos  pocos  de  los  infinitos  números  que  forman  parte  del  dominio  de  esta  función,  y  1,  3,  5,  7  y  9  serían  miembros  del  rango.  Siendo  algo  más  rigurosos,  podríamos  decir  que  tanto  el  dominio  como  el  rango  de  esta  función  contienen  todos  los  números  reales:  
Fuente: elaboración  propia.
A  todo  esto,  ¿por  qué  a  un  economista  pueden  interesarle  tanto  las  funciones?  Porque  la  teoría  económica  está  plagada  de  ellas:  los  beneficios  o  los  costes  de  una  empresa,  las  unidades  producidas  por  esta  e  incluso  los  gustos  de  los  consumidores  pueden  ser  representados  mediante  funciones.  

2.-GRÁFICAS  DE  FUNCIONES  DE  UNA  VARIABLE  REAL

Uno  de  los  instrumentos  más  utilizados  para  estudiar  y  comprender  el  comportamiento  de  las  variables  de  una  función  es  su  representación  gráfica.  Esto  es  así  porque  la  forma  de  una  gráfica  refleja  las  propiedades  de  la  función  a  la  que  corresponde,  ayudándonos  a  visualizarla.
  
Todo  par  de  números  reales  puede  ser  representado  por  puntos  de  un  plano.  Para  ello  trazamos  dos  rectas  perpendiculares,  que  llamamos  respectivamente  eje  x  (o  eje  horizontal  o  de  abscisas)  y  eje  y  (o  eje  vertical  o  de  ordenadas).  Midiendo  los  números  reales  sobre  ellos,  el  eje  x  corresponderá  a  los  valores  que  tome  la  variable  independiente  de  la  función  y  el  eje  y  a  los  valores  de  la  variable  dependiente.  El  punto  de  intersección  de  los  dos  ejes,  O,  se  llama  origen.  Habremos  construido  así  un  sistema  de  coordenadas  rectangular,  también  conocido  como  plano  cartesiano  o  plano  xy.  Trazando  rectas  perpendiculares  a  partir  de  estos  ejes  podemos  representar  cualquier  par  de  valores,  que  serán  las  coordenadas  de  un  punto  del  plano.

Recurriendo  a  la  función  del  apartado  anterior  (y = 2x + 1),  su  representación  gráfica  sería  esta:

Fuente: elaboración  propia.
Como  podemos  observar,  lo  único  que  hemos  hecho  ha  sido  transportar  los  datos  de  la  tabla  anterior  a  unos  ejes  coordenados.  Así,  la  gráfica  de  la  función  pasa  por  (0, 1),  (1, 3),  (2, 5),  (3, 7),  (4, 9)…

¿Sencillo?  Claro  que  sí.  No  obstante,  no  todo  son  líneas  rectas  en  el  mundo  de  las  funciones.  Solo  hemos  visto  el  vestíbulo  de  un  universo  lleno  de  posibilidades.  Continuamos  en  el  próximo  capítulo.

CONTINUARÁ…

BIBLIOGRAFÍA
  • SYDSAETER,  K.;  HAMMOND,  P.;  CARVAJAL,  A. (2012): Matemáticas  para  el  Análisis  Económico.  2ª  ed.  Pearson,  Madrid.  
  • Clases  de  Matemáticas  I  de  la  Prof.  Dra.  Haydée  Corina  Lugo  Arocha  (Universidad  Complutense  de  Madrid).

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