MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 2: TIPOS DE FUNCIONES (PRIMERA PARTE) - Canal Hablamos

NUEVO

09 julio 2015

MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 2: TIPOS DE FUNCIONES (PRIMERA PARTE)


Ya  que  el  concepto  de  función  no  nos  supone  ningún  problema,  continuemos  con  nuestro  repaso  a  las  funciones  de  una  variable  real.  Como  comentábamos  al  final  del  capítulo  anterior,  no  todo  son  líneas  rectas  en  el  mundo  de  las  funciones.  Al  igual  que  cada  persona  tiene  unos  rasgos  que  la  definen  y  distinguen  del  resto,  existen  distintos  tipos  de  funciones,  cada  uno  con  sus  particularidades.  Lo  que  haremos  a  continuación  será  repasar  los  que  nos  interesan  más  para  trabajar  en  capítulos  posteriores.

1.-Funciones  constantes

Como  su  propio  nombre  indica,  las  funciones  constantes  son  las  que  asignan  un  único  número  a  cualquier  otro  que  introduzcamos  en  la  función:

y = f(x) = constante

De  esta  manera,  la  variable  dependiente  solo  puede  tomar  un  solo  valor.  Por  esta  razón,  las  gráficas  de  las  funciones  constantes  son  rectas  que  pasan  por  el  número  constante  al  que  está  igualada  la  función.

¿Aburrido  y  simple?  No  tanto.  Las  funciones  constantes  son  más  útiles  de  lo  que  parecen.  De  hecho  en  Economía  se  recurre  a  ellas  para  representar  situaciones  tan  frecuentes  como  las  de  costes  fijos  o  tarifas  planas.

Una  función  constante  sería  esta:

y = 3

Como  podemos  ver,  para  todos  los  valores  de  x  la  variable  y  vale  3.  Por  lo  tanto,  su  dominio  estaría  compuesto  por  todos  los  números  reales  y  su  imagen  solo  por  el  número  3:

2.-Funciones  lineales

Las  funciones  lineales  son  aquellas  donde  la  variable  independiente  aparece  multiplicada  por  un  número  (a)  que  representa  algebraicamente  la  proporción  en  la  que  interviene  esa  variable:


La  forma  de  las  gráficas  de  este  tipo  de  funciones  se  asocia  fácilmente  con  su  denominación.  Se  trata  de  una  línea  recta  que  pasa  por  el  origen  de  coordenadas  y  que  está  más  o  menos  inclinada  dependiendo  del  número  que  multiplica  a  la  variable  independiente.  Ese  número  se  llama  pendiente.  Los  costes  variables  de  una  empresa,  que  dependen  del  número  de  unidades  producidas,  pueden  ajustarse  a  una  función  lineal.

Un  ejemplo  de  función  lineal  sería  este:
y = 5x



El  dominio  y  el  rango  están  compuestos  por  todos  los  números  reales:
3.-Funciones  afines

En  las  funciones  afines  la  variable  independiente  también  aparece  multiplicada  por  un  número  como  en  las  funciones  lineales.  La  diferencia  está  en  que  también  aparece  sumada  una  constante  (b):


Los  costes  totales  de  una  empresa,  que  resultan  de  sumar  costes  fijos  y  costes  variables,  pueden  representarse  mediante  funciones  afines.

La  función  que  utilizamos  como  ejemplo  en  el  capítulo  2  es  de  este  tipo:

y = 2x + 1


Tanto  el  dominio  como  el  rango  estarían  constituidos  por  todos  los  números  reales: 

4.-Otras   funciones  polinómicas

En  realidad,  las  funciones  lineales  y  afines  se  pueden  estudiar  como  casos  particulares  dentro  de  una  categoría  superior,  que  son  las  funciones  polinómicas,  es  decir,  las  que  se  presentan  en  forma  de  polinomio:


Aparte  de  las  dos  anteriores,  polinómicas  son  también  las  funciones  cuadráticas,  con  forma  de  polinomio  de  orden  2  donde  a,  b  y  c  son  constantes  y  a  es  distinta  de  0:


Las  funciones  cuadráticas  dan  lugar  a  una  representación  gráfica  en  forma  de  parábola,  con  las  ramas  hacia  arriba  (U)  cuando  a>0,  y  con  las  ramas  hacia  abajo  (U  invertida)  cuando  a<0.  Un  ejemplo  de  función  cuadrática  sería  esta:



En  este  caso,  el  dominio  estaría  constituido  por  todos  los  números  reales,  mientras  que  el  intervalo  comprendido  entre  0’75  e  infinito  positivo  sería  la  imagen:

Al  estudiar  este  tipo  de  funciones  se  suelen  realizar  siempre  dos  preguntas:
  1. ¿Para  qué  valores  de  x  (si  los  hay)  es  f(x) = 0?
  2. ¿Qué  coordenadas  tiene  el  máximo  o  el  mínimo  de  la  función?  
La  respuesta  a  la  primera  implica  hallar  los  puntos  de  corte  de  la  parábola  con  el  eje  x,  que  es  donde  la  variable  dependiente  vale  0.  Para  ello  igualamos  f(x)  a  0  y  resolvemos  la  ecuación  empleando  esta  expresión:

Para  responder  a  la  segunda  pregunta  normalmente  se  recurre  al  cálculo  de  los  puntos  críticos  de  la  función,  que  se  hallan  derivando  la  función.  Repasaremos  más  adelante  esta  operación.  También  podemos  conocer  el  máximo  o  el  mínimo  de  una  función  cuadrática  empleando  esta  expresión,  que  nos  da  las  coordenadas  del  punto  buscado:


Si  a>0,  entonces  la  función  tiene  su  mínimo  en  ese  punto,  y  si  a<0,  estas  son  las  coordenadas  de  su  máximo.

Después  de  las  cuadráticas,  consideremos  las  funciones  cúbicas,  que  tienen  la  siguiente  apariencia  (a, b, c  y  d  son  constantes  y  a  no  es  0):


Mientras  en  las  funciones  lineales  y  cuadráticas  es  fácil  entender  su  comportamiento  a  partir  de  sus  gráficas,  en  las  funciones  cúbicas  es  más  complicado  porque  la  forma  de  las  gráficas  cambia  drásticamente  cuando  los  coeficientes  a,  b,  c  y  d  varían.  Demos  un  ejemplo  de  función  cúbica:



El  dominio  y  el  rango  comprenden  en  este  caso  todos  los  números  reales:

El  repaso  de  las  funciones  polinómicas  nos  lleva  a  las  funciones  racionales,  que  resultan  de  dividir  dos  funciones  polinómicas  P(x)  y  Q(x),  y  que  están  definidas  para  todo  x  tal  que  Q(x)  sea  distinto  de  0:


La  función  racional  R(x)  es  propia  si  el  grado  de  P(x)  es  menor  que  el  de  Q(x),  o  impropia  si  el  grado  de  P(x)  es  mayor  o  igual  al  de  Q(x).

Aquí  tenemos  un  ejemplo  de  función  racional:


El  dominio  de  esta  función  está  compuesto  por  todos  los  números  reales  salvo  el  2,  y  el  rango  por  todos  los  números  reales  salvo  el  1.  Así,  la  función  presenta  una  asíntota  vertical  en  x = 2  y  una  asíntota  horizontal  en  y = 1.


Las  tres  funciones  polinómicas  que  acabamos  de  ver  (cuadráticas,  cúbicas  y  racionales)  también  se  utilizan  a  menudo  en  Economía  para  representar  variables  como  la  producción,  los  costes  o  los  beneficios  de  una  empresa.

Nos  detenemos  aquí.  Completaremos  nuestro  repaso  a  los  tipos  de  funciones  de  una  variable  en  el  próximo  capítulo.


CONTINUARÁ...

BIBLIOGRAFÍA
  • GARCÍA  PINEDA,  P.; NÚÑEZ  DEL  PRADO,  J.A.; GÓMEZ  SEBASTIÁN,  A.  (2007): Iniciación  a  la  Matemática  Universitaria,  Thomson,  Madrid.
  • SYDSAETER,  K.;  HAMMOND,  P.;  CARVAJAL,  A.  (2012): Matemáticas  para  el  Análisis  Económico,  Pearson,  Madrid.
  • Clases  de  Matemáticas  I  de  la  Prof.  Dra.  Haydée  Corina  Lugo  Arocha  (Universidad  Complutense  de  Madrid).
Autor:
Manuel  V.  Montesinos

No hay comentarios:

Publicar un comentario

-->