MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 3: TIPOS DE FUNCIONES (SEGUNDA PARTE) - Canal Hablamos

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04 agosto 2015

MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 3: TIPOS DE FUNCIONES (SEGUNDA PARTE)


1.-Funciones  potenciales

Después  de  las  polinómicas,  que  fue  la  última  especie  de  funciones  de  la  que  estuvimos  hablando,  nos  interesan  las  potenciales,  que  poseen  la  siguiente  apariencia:


Estas  funciones,  caracterizadas  porque  la  variable  independiente  se  presenta  en  forma  de  potencia,  son  utilizadas  a  menudo  por  los  economistas  para  estudiar,  entre  otros  fenómenos,  las  preferencias  de  los  consumidores,  la  producción  de  una  empresa  (funciones  de  utilidad  y  de  producción  Cobb-Douglas)  o  el  crecimiento  económico.

Una  función  potencial  sería  esta:

El  dominio  y  el  rango  de  esta  función  estarían  restringidos  al  campo  de  los  números  reales  positivos:
2.-Funciones  exponenciales

Se  dice  que  una  cantidad  aumenta  (o  disminuye)  exponencialmente  cuando  lo  hace  en  un  factor  fijo  por  unidad  de  tiempo.  Por  ejemplo,  la  población  de  Cabeza  del  Buey  (Badajoz)  crecería  exponencialmente  si  cada  50  años  se  duplicara  (aunque  por  desgracia  en  la  realidad  ocurra  más  bien  lo  contrario).  Si  el  factor  fijo  es  a,  podemos  representar  la  variación  de  la  cantidad  a  través  de  una  función  exponencial   donde  A  y  a  son  constantes  positivas  y  x  representa  el  período  de  tiempo  en  el  que  nos  encontramos:


El  resultado  que  nos  da  la  función  es  el  producto  del  número  que  constituye  la  base  (a)  multiplicado  tantas  veces  por  sí  mismo  como  indique  el  exponente  x,  y  multiplicado  el  resultado  por  A.

Estas  funciones  aparecen  en  muchos  modelos  económicos,  sociales  o  físicos.  Se  pueden  describir  mediante  funciones  exponenciales  fenómenos  como  el  crecimiento  económico,  el  crecimiento  demográfico  o  el  interés  acumulado  continuamente.  Asimismo,  tienen  una  serie  de  propiedades  que  conviene  recordar:
  1. La  gráfica  de  la  función  es  creciente  (si  x  aumenta,  f(x)  tiende  a  infinito;  si  x  disminuye,  f(x)  tiende  a  0)  cuando  la  base  a  es  mayor  que  1,  y  decreciente  (si  x  aumenta,  f(x)  tiende  a  0;  si  x  disminuye,  f(x)  tiende  a  infinito)  si  la  base  se  encuentra  entre  0  y  1.
  2. La  base  a  debe  ser  siempre  mayor  que  0  (la  población  no  puede  aumentar  a  un  factor  de  -2).
  3. De  las  funciones  exponenciales  solo  es  posible  obtener  números  positivos  (si  la  población  aumenta  no  se  puede  obtener  una  cantidad  negativa  de  personas).
  4. Operaciones:
Aquí  tenemos  un  ejemplo  de  función  exponencial:


Todos  los  números  reales  pertenecerían  al  dominio  de  esta  función.  Mientras  tanto,  la  imagen  estaría  compuesta  por  los  positivos  y  existiría  una  asíntota  horizontal  (y = 0):


3.-Funciones  logarítmicas

Las  funciones  logarítmicas  son  las  inversas  de  las  funciones  exponenciales.  Así,  si  y  es  el  número  de  períodos  que  tienen  que  pasar  para  que  un  proceso  exponencial  de  base  a  alcance  una  población  de  tamaño  x,  el  logaritmo  en  base  a  de  x  es  y  (si  para  que  la  población  de  Cabeza  del  Buey  se  duplique  tiene  que  pasar  un  período  (1)  de  50  años,  el  logaritmo  en  base  2  de  2  es  1):

Tal  como  ocurría  con  las  exponenciales,  las  gráficas  de  las  funciones  logarítmicas  tienen  una  forma  u  otra  dependiendo  de  la  base  a.  De  este  modo,  si  a  es  mayor  que  1,  la  función  es  creciente  (cuando  x  aumenta,  y  tiende  a  infinito;  cuando  x  disminuye  hasta  0,  y  tiende  a  infinito  negativo),  y  si  a  está  entre  0  y  1,  la  función  es  decreciente  (cuando  x  aumenta,  y  tiende  a  infinito  negativo;  cuando  x  disminuye  hasta  0,  y  tiende  a  infinito).

Por  otro  lado,  cuando  la  base  del  logaritmo  sea  el  número  e,  tendremos  un  logaritmo  neperiano:
A  menudo  la  base  de  un  logaritmo  es  el  número  10.  En  ese  caso  tendremos  un  logaritmo  decimal:

También  debemos  tener  en  cuenta  una  serie  de  propiedades  relativas  a  las  operaciones  que  podemos  realizar  con  logaritmos:


Un  ejemplo  de  función  logarítmica  sería  este:


El  dominio  de  esta  función  está  comprendido  entre  0  (sin  incluir)  e  infinito  positivo  y  el  rango  está  formado  por  todos  los  números  reales.


4.-Funciones  trigonométricas

Terminamos  nuestro  repaso  de  los  tipos  de  funciones  con  las  funciones  trigonométricas.  Aunque  no  son  muy  frecuentes  en  Economía,  conviene  recordar  que  representan  procesos  cíclicos,  que  son  aquellos  que  comienzan  en  algún  punto,  pasan  por  una  serie  de  etapas  intermedias  y  terminan  en  el  punto  inicial.  Las  funciones  trigonométricas  son  tres: seno,  coseno  y  tangente.  También  podríamos  considerar  sus  recíprocas  (secante,  cosecante  y  cotangente)  y  las  inversas  de  estas  seis  (arcoseno,  arcocoseno,  arcotangente,  arcosecante,  arcocosecante  y  arcocotangente).







CONTINUARÁ...

BIBLIOGRAFÍA
  • GARCÍA  PINEDA,  P.; NÚÑEZ  DEL  PRADO,  J.A.; GÓMEZ  SEBASTIÁN,  A.  (2007): Iniciación  a  la  Matemática  Universitaria,  Thomson,  Madrid.
  • SYDSAETER,  K.;  HAMMOND,  P.;  CARVAJAL,  A.  (2012): Matemáticas  para  el  Análisis  Económico,  Pearson,  Madrid.
  • Clases  de  Matemáticas  I  de  la  Prof.  Dra.  Haydée  Corina  Lugo  Arocha  (Universidad  Complutense  de  Madrid).
Autor:
Manuel  V.  Montesinos

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