MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 4: DERIVADAS (PRIMERA PARTE) - Canal Hablamos

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21 agosto 2015

MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 4: DERIVADAS (PRIMERA PARTE)


Después  de  tratar  el  concepto  de  función  de  una  variable  real  y  sus  tipos  en  los  capítulos  anteriores,  en  este  vamos  a  completar  nuestro  repaso  con  las  derivadas.

1.-¿Qué  es  una  derivada?

¿Y  qué  es  una  derivada?  Desde  luego  esta  es  una  pregunta  de  vital  importancia.  En  muchas  disciplinas  científicas,  incluida  la  Economía,  suele  ser  importante  el  estudio  de  la  velocidad  de  variación  de  ciertas  magnitudes  con  el  paso  del  tiempo.  Para  calcular  la  posición  futura  de  un  planeta,  para  predecir  el  crecimiento  de  la  población  de  una  especie,  o  para  dar  una  estimación  de  la  demanda  futura  de  un  bien,  necesitamos  tener  información  sobre  sus  tasas  de  variación.

Precisamente  el  concepto  matemático  que  se  usa  para  describir  la  tasa  de  variación  es  el  de  derivada.  De  este  modo,  si  una  función  es  algo  que  varía,  su  derivada  sería  la  manera  específica  de  variación  que  tiene  esa  función.  Es  como  si  te  encuentras  con  tu  ex  pareja  después  de  varios  años  y  le  dices:  ¡hay  que  ver  cómo  has  cambiado!,  mientras  él  o  ella  responde  con  algo  de  socarronería:  ¡pues  tú  no  has  cambiado  nada!.  Estas  dos  expresiones  se  refieren  a  derivadas.  Si  pudiéramos  conocer  las  funciones  matemáticas  a  las  que  se  ajustan  los  cambios  físicos  experimentados  por  estas  dos  personas,  la  derivada  de  uno  de  ellos  reflejaría  un  cambio  muy  grande  y  la  del  otro  una  variación  prácticamente  nula.

2.-Definición  formal  de  derivada

Tras  este  ejemplo  que  nos  permite  entender  mejor  a  qué  nos  referimos  cuando  hablamos  de  derivadas,  procedamos  a  definir  el  concepto  formalmente.  Lo  podemos  hacer  de  dos  maneras.

Primero,  como  modo  de  variación  de  la  función  considerada.  Sea  f(x)  esa  función  y  x0  y  x  puntos  de  su  dominio,  la  variación  absoluta  de  la  función  entre  ambos  puntos  se  calcula  como  la  diferencia  entre  el  valor  de  la  función  en  cada  uno  de  ellos:

Variación  absoluta  de  una  función  entre  dos  puntos.

Si  dividimos  el  resultado  que  obtenemos  de  esta  manera  entre  la  diferencia  que  existe  entre  los  valores  asignados  a  la  variable  independiente,  obtendremos  la  variación  en  términos  relativos:

Variación  relativa  de  una  función  entre  dos  puntos.

Es  importante  comprender  qué  es  lo  que  distingue  estos  dos  tipos  de  variaciones.  Calcular  una  variación  absoluta  es  como  calcular  la  diferencia  que  hay  entre  la  cantidad  de  alcohol  en  sangre  de  un  adolescente  un  viernes  a  las  cuatro  de  la  mañana  y  la  cantidad  a  las  doce  de  la  noche.  Sin  más.  Mientras  tanto,  gracias  a  la  variación  relativa  podremos  saber  la  velocidad  a  la  que  varía  la  cantidad  de  alcohol  en  sangre  de  ese  chaval,  en  ml/h,  si  medimos  el  alcohol  en  mililitros.

Poniendo  un  ejemplo  menos  agresivo,  notemos  que  la  distancia  que  recorre  un  coche  entre  Cabeza  del  Buey  y  Madrid  es  una  variación  absoluta,   pero  la  velocidad  media  a  la  que  se  ha  conducido  es  una  variación  relativa.  

Vale,  pero  entonces,  ¿es  esta  la  velocidad  que  marca  el  cuentakilómetros?  No.  La  velocidad  que  marca  el  cuentakilómetros  de  ese  coche  sería  la  resultante  de  esta  expresión:

Límite  cuando  x  tiende  a  x0  de  la  variación  relativa  de  una  función  entre  dos  puntos.

Si  f(x)  representara  la  posición  del  coche  en  cada  momento  x,  el  resultado  de  este  límite  es  la  velocidad  del  coche  en  cada  instante.  Esto,  señoras  y  señoras,  es  una  derivada.  Así,  sea  f  una  función  de  una  variable  real  y  x0  un  punto  perteneciente  a  su  dominio,  la  derivada  de  f  en  x0  sería:

Derivada  de  una  función  en  x0.

Esta  definición  ya  nos  da  una  pista  sobre  la  aplicación  de  las  derivadas  en  Economía.  Por  ejemplo,  ¿a  que  a  un  empresario  le  interesaría  saber  cuánto  varían  sus  costes  de  producción  al  producir  una  unidad  más?  Esa  variación  se  llama  coste  marginal  y  podríamos  calcularla  derivando  la  función  de  costes  de  la  empresa.

¿Hasta  aquí  todo  bien?  Seguro  que  sí.  Sigamos  entonces  con  la  segunda  forma  de  definir  la  derivada,  una  definición  geométrica.  En  concreto,  la  derivada  de  una  función  f  en  x0  equivale  a  hallar  la  pendiente  de  la  tangente  a  la  función  f  en  el  punto  x0.

Para  entenderlo  mejor,  imagina  que  tienes  la  gráfica  de  la  función  f  y  has  marcado  dos  puntos,  f(x)  y  f(x0).  Traza  ahora  una  recta  que  pase  por  los  dos  puntos.  Esa  recta  se  llama  secante.  Para  hallar  la  pendiente  de  esa  recta  secante,  utiliza  la  expresión  para  calcular  pendientes,  dividiendo  la  variación  de  f  entre  la  variación  de  x:

Expresión  para  calcular  la  pendiente  de  una  recta  entre  dos  puntos  de  una  función.

¡Vaya!  ¿No  es  esto  la  variación  relativa  que  hemos  visto  antes?  Claro  que  sí.  Entonces,  ¿por  qué  no  repetimos  la  operación  anterior  y  nos  vamos  al  límite?  Hagamos  eso,  movamos  el  dedo  hacia  la  izquierda,  desde  el  punto  f(x)  hasta  f(x0).  La  recta  que  vamos  a  trazar  ahora  y  que  solo  toca  un  punto  de  la  función,  f(x0),  es  la  recta  tangente  a  ese  punto.  Calcular  la  pendiente  de  ese  punto  es  repetir  el  límite  que  hemos  hecho  antes,  y  por  eso  la  derivada  de  f  en  x0  es  la  pendiente  de  la  recta  tangente  a  ese  punto.

Gráfica  roja:  función  f(x).  Recta  azul: recta  tangente  al  punto  (0,1)  de  la  función.

¿Veis  cómo  todo  encaja?  Muy  bien,  pero,  ¿qué  ocurre  cuando  en  un  mismo  punto  de  la  función  es  posible  trazar  más  de  una  recta  tangente?  Entonces  decimos  que  la  derivada  no  está  definida  o  que  la  función  no  es  derivable  en  ese  punto.  Se  trata  de  una  situación  con  la  que  nos  podemos  encontrar  en  función  definidas  a  trozos  o  con  puntos  de  discontinuidad  y  en  funciones  cuyas  gráficas  presentan  picos,  como  esta  en  (0,0):


Por  ahora  nos  quedamos  aquí.  Continuaremos  este  repaso  a  las  derivadas  en  el  próximo  capítulo.

CONTINUARÁ...

BIBLIOGRAFÍA
  • Clases  de  Matemáticas  I  de  la  Prof.  Dra.  Haydée  Corina  Lugo  Arocha  (Universidad  Complutense  de  Madrid).
  • Clases  de  Matemáticas  Aplicadas  a  las  Ciencias  Sociales  del  Prof.  Segundo  García-Risco  Sánchez  (IES  Muñoz-Torrero  de  Cabeza  del  Buey).
  • GARCÍA  PINEDA,  P.; NÚÑEZ  DEL  PRADO,  J.A.; GÓMEZ  SEBASTIÁN,  A.  (2007): Iniciación  a  la  Matemática  Universitaria,  Thomson,  Madrid.
  • SYDSAETER,  K.;  HAMMOND,  P.;  CARVAJAL,  A.: Matemáticas  para  el  Análisis  Económico.  2ª  ed.  Madrid: Pearson,  2012.  


Autor:
Manuel  V.  Montesinos

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