MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 5: DERIVADAS (SEGUNDA PARTE) - Canal Hablamos

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23 agosto 2015

MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 5: DERIVADAS (SEGUNDA PARTE)


Después  de  haber  entendido  qué  son  las  derivadas,  vamos  a  aprender  a  calcularlas.  Para  hallar  la  derivada  de  una  función  normalmente  se  recurre  a  un  conjunto  de  reglas  que  uno  debe  dominar  tan  bien  como  las  tablas  de  multiplicar  para  operar  con  agilidad.  Las  principales  reglas  de  derivación  son:

1.-Derivada  de  una  función  constante


La  derivada  de  una  función  constante  es  0,  ya  que  la  variable  dependiente  toma  siempre  el  mismo  valor.  La  variación  es  nula.

2.-Derivada  de  la  función  identidad


La  función  identidad  es  una  función  lineal,  por  lo  que  su  pendiente  no  cambia  (en  este  caso  es  1).  Por  lo  tanto,  en  todos  los  puntos  de  esta  función  la  derivada  es  la  misma,  esa  pendiente.

3.-Derivada  de  una  función  afín


Ocurre  lo  mismo  que  con  las  funciones  lineales.  La  pendiente,  y  así  también  la  derivada,  de  una  función  afín  es  fija.  

4.-Derivada  de  una  función  potencial


La  derivada  de  una  función  potencial  es  igual  al  producto  del  exponente  de  la  potencia  por  la  base  x  elevada  al  exponente  inicial  menos  1.

5.-Derivada  de  una  función  exponencial


La  derivada  de  una  función  exponencial  es  igual  a  la  potencia  multiplicada  por  el  logaritmo  neperiano  de  la  base.

6.-Derivada  de  una  función  exponencial  con  el  número  e  como  base


Siguiendo  la  regla  anterior,  al  hacer  esta  derivada  multiplicaríamos  la  potencia  por  el  logaritmo  neperiano  de  la  base.  Como  esta  base  es  el  número  e,  ese  logaritmo  neperiano  vale  1,  de  manera  que  podemos  resumir  diciendo  que  la  derivada  de  esta  función  exponencial  es  ella  misma.

7.-Derivada  de  una  función  logarítmica


La  derivada  de  un  logaritmo  en  base  a  de  x  es  igual  a  1/x  por  el  logaritmo  en  base  a  del  número  e.

8.-Derivada  de  un  logaritmo  neperiano


Si  aplicamos  la  regla  de  antes,  tenemos  que  multiplicar  1/x  por  el  logaritmo  en  base  a  del  número  e.  Como  la  base  a  es  en  este  caso  el  número  e,  tenemos  el  logaritmo  neperiano  de  e,  que  vale  1.  Por  eso  el  resultado  final  de  esta  derivada  es  1/x

9.-Derivada  del  seno


La  derivada  de  la  función  seno  de  x  es  igual  a  otra  función  trigonométrica:  el  coseno  de  x.

10.-Derivada  del  coseno


La  derivada  de  la  función  coseno  de  x  es  igual  al  seno  negativo  de  x.

11.-Derivada  de  la  tangente


La  derivada  de  la  función  tangente  de  x  es  igual  a  1  más  tangente  al  cuadrado  de  x,  que  es  lo  mismo  que  dividir  1  entre  el  coseno  al  cuadrado  de  x.

12.-Derivada  de  una  suma


La  derivada  de  una  suma  de  funciones  es  igual  a  la  suma  de  sus  derivadas.

13.-Derivada  de  un  producto


La  derivada  de  un  producto  de  funciones  es  igual  a  la  derivada  de  la  primera  por  la  segunda  sin  derivar  más  la  primera  sin  derivar  por  la  derivada  de  la  segunda.

14.-Derivada  de  un  cociente


La  derivada  de  un  cociente  de  funciones,  g  entre  h,  es  igual  a  otro  cociente.  El  numerador  de  este  es  igual  a  la  derivada  de  g  por  h  sin  derivar  menos  g  sin  derivar  por  la  derivada  de  h.  En  cuanto  al  denominador  del  nuevo  cociente,  será  la  función  h  elevada  al  cuadrado.

15.-Derivada  de  una  composición  de  funciones


La  derivada  de  una  composición  de  dos  funciones  es  igual  a  la  derivada  de  la  primera  por  la  derivada  de  la  segunda,  la  que  hemos  introducido  en  la  anterior.

16.-Derivada  de  una  función  elevada  a  otra  función


La  derivada  de  una  función  g  elevada  a  otra  función  h  es  igual  a  h   multiplicada  por  g  elevada  a  h-1  y  por  la  derivada  de  g,  más  la  derivada  de  h   por  g  elevada  a  h.

Notación

Otro  punto  que  nos  interesa  repasar  después  de  las  reglas  de  derivación  es  la  notación.  Además  de  la  que  hemos  utilizado,  existen  otras  formas  de  señalar  que  vamos  a  realizar  una  derivada.  Estas  son  las  más  usuales:


Regla  de  la  cadena

A  la  hora  de  derivar  también  es  muy  importante  dominar  la  regla  de  la  cadena.  Para  entenderla,  supongamos  que  y  es  función  de  u,  y  que  u  es  función  de  x:


Entonces  se  dice  que  y  es  una  función  compuesta  de  x.  Imaginemos  ahora  que  el  valor  de  x  cambia.  Esto  provocará  un  cambio  en  el  valor  de  u  y,  por  lo  tanto,  también  en  el  de  y.  Es  decir,  el  cambio  en  x  causa  una  especie  de  reacción  en  cadena  que  termina  afectando  a  y.  Para  cuantificar  ese  cambio  utilizamos  la  regla  de  la  cadena,  según  la  cual  si  y  es  una  función  derivable  de  u,  y  u  es  una  función  derivable  de  x,  entonces  y  es  una  función  derivable  de  x  y  esta  derivada  viene  dada  por:


Derivar  una  derivada

Tampoco  hay  que  olvidar  que  la  derivación  es  una  operación  que  podemos  realizar  tantas  veces  seguidas  como  sea  posible.  En  realidad,  la  derivada  de  una  función  es  también  una  función,  por  lo  que  cabe  la  posibilidad  de  que  también  sea  derivable.  Así,  a  la  derivada  de  la  derivada  se  la  conoce  como  segunda  derivada,  a  la  derivada  de  esta  la  llamaremos  tercera  derivada,  y  así  sucesivamente:


Nos  detenemos  aquí.  Continuaremos  en  el  próximo  capítulo  con  varios  ejemplos  para  completar  este  repaso  a  las  derivadas.

CONTINUARÁ...

BIBLIOGRAFÍA
  • Clases  de  Matemáticas  I  de  la  Prof.  Dra.  Haydée  Corina  Lugo  Arocha  (Universidad  Complutense  de  Madrid).
  • Clases  de  Matemáticas  Aplicadas  a  las  Ciencias  Sociales  del  Prof.  Segundo  García-Risco  Sánchez  (IES  Muñoz-Torrero  de  Cabeza  del  Buey).
  • GARCÍA  PINEDA,  P.; NÚÑEZ  DEL  PRADO,  J.A.; GÓMEZ  SEBASTIÁN,  A.  (2007): Iniciación  a  la  Matemática  Universitaria,  Thomson,  Madrid.
  • SYDSAETER,  K.;  HAMMOND,  P.;  CARVAJAL,  A.  (2012): Matemáticas  para  el  Análisis  Económico,  Pearson,  Madrid.  

Autor:
Manuel  V.  Montesinos


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