MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 7: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES - Canal Hablamos

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27 agosto 2015

MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 7: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES


1.-Funciones  de  varias  variables  (introducción)

En  los  capítulos  anteriores  hemos  estado  repasando  algunas  de  las  ideas  más  importantes  sobre  las  funciones  de  una  variable  real,  recordando  incluso  cómo  derivarlas.  En  estas  funciones,  a  cada  valor  de  x  que  pertenece  al  dominio  se  le  asigna  un  único  valor  de  y  que  queda  recogido  en  la  imagen.

Sencillo,  ¿verdad?  Pues  entender  la  mecánica  de  las  funciones  de  varias  variables  es  igual  de  fácil.  Como  su  propio  nombre  indica,  en  este  tipo  de  funciones  hay  más  de  una  variable  independiente.  Por  ejemplo,  podemos  tener  una  función  de  dos  variables,  x  e  y,  donde  por  cada  par  de  valores  que  asignemos  a  estas  dos  la  función  nos  devolverá  un  único  valor,  que  será  el  que  tome  z,  la  variable  dependiente.

Para  comprenderlo  mejor,  fijémonos  en  lo  que  ocurre  en  esta  función:


Vamos  a  darle  a  x  el  valor  0,  y  a  y  vamos  a  darle  el  1.  Operemos  y  nos  daremos  cuenta  de  que  con  ese  par  de  valores,  (0,1),  la  variable  dependiente  vale  1:


Esto  es  lo  que  ha  hecho  nuestra  función,  devolvernos  un  número  a  partir  del  par  de  valores  introducido.  La  comparación  con  las  funciones  de  una  variable  sería  similar  a  la  de  los  primeros  videojuegos  de  fútbol  frente  a  los  más  modernos.  Los  primeros  eran  como  las  funciones  de  una  variable:  cada  botón  que  presionabas  implicaba  una  acción  determinada  por  parte  del  jugador  (pulsa  O  para  que  el  jugador  chute).  Mientras  tanto,  las  últimas  entregas  de  la  saga  FIFA  que  han  salido  al  mercado  son  más  sofisticadas,  como  las  funciones  de  varias  variables:  cada  combinación  de  botones  conlleva  un  movimiento  distinto  (pulsa  O  y  L1  para  que  el  jugador  realice  una  vaselina  frente  al  portero,  pulsa  O  y  después  X  para  hacer  un  amago  de  disparo...).  Formalmente  se  trata  de  esto:


Habiéndolo  comprendido,  resulta  fácil  entender  cualquier  tipo  de  funciones  de  varias  variables,  como  esta  de  tres:


Utilizando  el  trío  (2, 2, 1)  la  función  nos  devuelve  el  7:


Por  lo  tanto,  decimos  que  una  función  f  de  n  variables  x1,  x2,...,  xn  con  dominio  R  en  n  (número  de  variables  independientes  que  tiene  la  función)  es  una  regla  que  asigna  un  número  específico  f(x1,  x2,...,  xn)  a  cada  n-vector  (x1,  x2,...,  xn)  perteneciente  al  dominio.  A  este  tipo  de  funciones  las  llamaremos  a  menudo  campo  escalar.

En  realidad,  muchos  de  los  temas  que  vamos  a  tratar  en  esta  serie  estarán  relacionados  con  las  funciones  de  varias  variables,  dado  su  papel  fundamental  en  el  análisis  económico.  Los  economistas  se  dedican  a  estudiar  fenómenos  en  los  que  intervienen  múltiples  variables.  Por  ejemplo,  el  crecimiento  del  PIB  de  un  país  depende  de  la  evolución  del  consumo  de  las  familias,  la  inversión  de  las  empresas,  el  gasto  público,  las  exportaciones  y  las  importaciones.  La  relación  entre  todas  estas  magnitudes  queda  recogida  en  una  función  de  varias  variables.

2.-Dominio  de  funciones  de  varias  variables

Conocer  el  dominio  de  las  funciones  con  las  que  trabajamos  es  muy  útil.  Es  como  conocer  los  intereses  de  una  persona:  te  ayuda  a  mantener  una  conversación  agradable  con  ella  mientras  esta  se  siente  cómoda  contigo.

Pongamos  algunos  ejemplos  de  funciones  de  varias  variables  para  hallar  su  dominio:

Ejemplo  1


En  este  caso  lo  tenemos  fácil.  Podemos  asignar  todos  los  puntos  del  plano  a  x  y  a  y:


Ejemplo  2


Como  podemos  observar,  en  esta  función  tenemos  un  logaritmo  neperiano  que  afecta  al  producto  de  x  por  y.  Como  ninguna  potencia  puede  dar  como  resultado  0  o  un  número  negativo,  el  producto  de  x  por  y  solo  puede  valer  más  que  0.  Por  lo  tanto,  este  es  el  dominio:


Ejemplo  3


Para  hallar  el  dominio  de  esta  función  tenemos  que  prestar  mucha  atención  a  la  raíz  cuadrada  del  numerador.  No  podemos  realizar  la  raíz  cuadrada  de  un  número  negativo.  Por  lo  tanto,  el  radicando  de  esta  raíz  debe  ser  mayor  o  igual  a  0.  De  aquí  obtenemos  la  primera  condición  que  cumplen  los  valores  del  dominio:


Por  otro  lado,  tenemos  a  x  en  el  denominador,  por  lo  que  no  puede  valer  0.  En  conclusión,  este  es  el  dominio  de  la  función:


Dominio  natural  de  definición

Como  podremos  imaginar,  el  dominio  de  muchas  funciones  empleadas  para  estudiar  fenómenos  económicos  está  restringido  al  campo  de  los  números  positivos.  El  número  de  unidades  de  bienes  producidos  por  una  empresa,  la  cantidad  de  factores  productivos  empleados...  Estas  magnitudes  solo  pueden  medirse  en  positivo.  Pues  bien,  el  dominio  de  este  tipo  de  funciones  recibe  el  nombre  de  dominio  natural  de  definición.  

CONTINUARÁ...

BIBLIOGRAFÍA
  • Clases  de  Matemáticas  I  de  la  Prof.  Dra.  Haydée  Corina  Lugo  Arocha  (Universidad  Complutense  de  Madrid).
  • SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.; CARVAJAL, A.  (2012): Matemáticas  para  el  Análisis  Económico,  Pearson,  Madrid.  


Autor:
Manuel  V.  Montesinos
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