MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 8: GRÁFICAS Y CURVAS DE NIVEL - Canal Hablamos

NUEVO

31 agosto 2015

MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 8: GRÁFICAS Y CURVAS DE NIVEL


En  el  capítulo  anterior  abordamos  por  primera  vez  las  funciones  de  varias  variables,  tratando  de  entender  qué  son  y  cómo  funcionan.  También  estuvimos  explicando  cómo  se  trabaja  con  el  dominio  de  este  tipo  de  funciones.

Pues  bien,  en  este  capítulo  vamos  a  dar  un  paso  más,  hablando  en  primer  lugar  sobre  la  manera  de  representar  gráficamente  estas  funciones  y  después  sobre  las  curvas  de  nivel.

1.-Gráficas  de  funciones  de  varias  variables

Como  recordaréis,  en  el  primer  capítulo  de  esta  serie  aprendimos  que  una  de  las  herramientas  más  valiosas  a  la  hora  de  estudiar  el  comportamiento  y  las  propiedades  de  una  función  es  su  representación  gráfica.  Representar  funciones  de  una  variable  real  era  muy  sencillo.  Solo  necesitábamos  dos  ejes,  uno  horizontal  para  los  valores  que  asignemos  a  la  variable  independiente  (x)  y  otro  vertical  para  los  que  tome  la  variable  dependiente  (y).  Formábamos  así  un  plano  cartesiano  sobre  el  que  podíamos  dibujar  gráficas  en  dos  dimensiones.

Partiendo  de  aquí,  pensemos: si  para  representar  funciones  donde  intervienen  una  variable  independiente  y  otra  dependiente  necesitamos  dos  ejes,  entonces  para  representar  funciones  con,  por  ejemplo,  dos  variables  independientes  y  una  dependiente  tendremos  que  recurrir  a  tres  ejes,  y  así  sucesivamente.  En  definitiva,  utilizaremos  tantos  ejes  como  variables  intervengan  en  la  función  con  la  que  estemos  trabajando.

En  esta  serie  solamente  representaremos  funciones  con  dos  variables  independientes,  por  lo  que  obtendremos  figuras  en  el  espacio  (tres  dimensiones).  Empecemos  con  esta  función  como  ejemplo:


Asignemos  valores  a  x  e  y  para  que  la  función  nos  devuelva  los  que  puede  tomar  z.  La  representación  de  estos  tríos  de  valores  en  el  espacio  sería  esta:


Fijémonos  bien  en  la  gráfica.  Como  podemos  observar,  al  introducir  el  par  (0,0)  la  variable  dependiente  z  vale  también  0,  que  es  la  altura  del  dibujo  en  el  punto  (0,0)  del  plano  xy.  Del  mismo  modo,  con  el  par  (5,5)  z  pasa  a  valer  50,  que  es  la  altura  de  la  gráfica  en  el  punto  (5,5)  del  plano.

Siguiendo  la  misma  mecánica  podremos  representar  cualquier  función  de  dos  variables  independientes.

2.-Curvas  de  nivel

Aunque  comprendamos  cómo  representar  gráficamente  funciones  de  dos  variables,  tenemos  que  reconocer  que  elaborar  estas  gráficas  manualmente  no  es  tarea  fácil.  Si  ya  nos  generan  dudas  las  gráficas  de  algunas  funciones  de  una  variable,  todavía  más  cuando  intervienen  varias  variables.  Por  esta  razón  es  más  habitual  estudiar  el  comportamiento  de  las  funciones  que  estamos  viendo  a  través  de  sus  curvas  de  nivel,  no  de  sus  gráficas.

Formalmente  decimos  que,  dado  un  campo  escalar  con  n  variables,  la  curva  de  nivel  k,  denotada  por  Sk,  es  el  subconjunto  de  valores  con  los  que  la  función  toma  el  valor  k:


Tomemos  la  función  que  hemos  representado  antes  para  poner  un  ejemplo.  Vamos  a  representar  las  curvas  de  nivel  de  valor  2,  10  y  18:


Como  podemos  ver,  nos  encontramos  ante  una  representación  en  el  plano,  pues  estamos  estudiando  las  combinaciones  de  x  e  y  con  las  que  la  función  toma  distintos  valores.  En  concreto,  la  curva  del  interior  contiene  todos  los  pares  xy  con  los  que  la  función  vale  2,  como  por  ejemplo  (1,1);  la  siguiente  curva  contiene  los  que  hacen  que  la  función  valga  10,  y  la  que  está  más  hacia  afuera  los  que  hacen  que  la  función  valga  18,  como  por  ejemplo  (3,3).  Así,  las  curvas  de  nivel  son  como  la  sombra  proyectada  sobre  el  plano  por  la  gráfica  de  la  función.

Como  comentábamos  antes,  a  menudo  recurrimos  a  las  curvas  de  nivel  en  lugar  de  a  las  gráficas  en  3D  para  estudiar  distintos  aspectos  del  comportamiento  de  la  función.  El  crecimiento  es  uno  de  ellos.  A  través  de  las  curvas  de  nivel  que  hemos  dibujado  podemos  deducir  que  la  función  crece  conforme  vamos  asignando  valores  más  altos  a  x  e  y.  Por  ello  las  ciencias  recurren  a  ellas  con  frecuencia.  Seguro  que  muchos  os  estaréis  acordando  de  las  curvas  de  nivel  empleadas  en  los  mapas  topográficos  para  señalar  puntos  con  la  misma  altitud,  o  de  las  isobaras  (puntos  con  la  misma  presión)  de  los  mapas  del  tiempo.  En  Economía  están  presentes  en  la  resolución  de  problemas  de  maximización  de  utilidad  y  minimización  de  costes  estudiados  en  Microeconomía.  Es  como  si  para  conocer  a  una  persona  nos  bastara  con  observar  la  sombra  de  su  silueta.  

CONTINUARÁ...

BIBLIOGRAFÍA
  • Clases  de  Matemáticas  I  de  la  Prof.  Dra.  Haydée  Corina  Lugo  Arocha  (Universidad  Complutense  de  Madrid).
  • SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.; CARVAJAL, A.  (2012): Matemáticas  para  el  Análisis  Económico,  Pearson,  Madrid.  


Autor:
Manuel  V.  Montesinos




No hay comentarios:

Publicar un comentario

-->