MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 9: DERIVADAS PARCIALES - Canal Hablamos

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03 septiembre 2015

MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA. CAPÍTULO 9: DERIVADAS PARCIALES


1.-Derivadas  parciales

Como  recordaremos  de  anteriores  capítulos,  las  derivadas  de  las  funciones  de  una  variable  real  nos  permiten  conocer  cómo  varía  la  magnitud  medida  por  la  función  a  partir  de  los  cambios  producidos  en  la  variable  independiente.  Pues  bien,  para  estudiar  la  variación  de  funciones  de  varias  variables  recurriremos  a  las  derivadas  parciales.  Tomando  la  función  z=f(x, y),  que  es  un  campo  escalar  en  R2  (dos  variables  independientes),  definimos  la  derivada  parcial  de  f  con  respecto  a  x  en  el  punto  (x,  y)  así:


Sí,  como  cualquier  derivada  las  parciales  proceden  de  un  límite.  Derivar  f  con  respecto  a  x  consiste  en  llevar  al  límite  la  variación  relativa  de  f  entre  (x+h,  y)  y  (x,  y).  De  esta  manera  podemos  saber  cómo  va  a  variar  el  valor  de  la  función  después  de  un  cambio  en  x  manteniendo  y  constante.  Para  cuantificar  ese  cambio,  es  decir,  la  variación  absoluta  de  f  entre  (x+h,  y)  y  (x,  y)  tendríamos  que  restarle  al  valor  de  f  en  (x+h,  y)  el  que  tiene  en  (x,  y):


Sin  embargo,  es  posible  calcular  esta  variación  de  una  manera  más  rápida  obteniendo  una  aproximación,  no  un  resultado  exacto.  Si  la  derivada  parcial  de  f  con  respecto  a  x  en  el  punto  (x,  y)  nos  dice  cuánto  varía  la  función  después  de  un  cambio  muy  pequeño  (infinitesimal)  en  x,  multipliquémosla  por  el  número  de  unidades  en  que  varía  x,  que  es  h  en  este  caso,  y  tendremos  el  resultado  que  buscamos:


Igualmente,  la  derivada  parcial  de  f  con  respecto  a  y  nos  permite  saber  cuánto  varía  f  a  partir  de  un  cambio  infinitesimal  en  y  mientras  x  se  mantiene  constante.  La  definimos  así:


Gracias  a  las  derivadas  parciales  sabemos  además  si  la  función  crece  o  decrece  a  medida  que  el  valor  de  x  cambia  mientras  el  de  y  se  mantiene  constante,  y  viceversa.  Por  ejemplo,  si  la  derivada  parcial  de  f  con  respecto  a  x  es  mayor  que  0,  entonces  f  crece  conforme  x  va  aumentando;  si  la  derivada  es  0,  f  se  mantendrá  constante,  y  si  la  derivada  es  menor  que  0,  f  disminuirá.

Vale,  el  concepto  está  claro,  pero,  ¿cómo  realizamos  una  derivada  parcial?  Es  muy  sencillo:  tan  solo  hay  que  aplicar  las  mismas  reglas  de  derivación  que  estudiamos  para  las  funciones  de  una  variable,  que  afectarán  únicamente  a  la  variable  con  respecto  a  la  que  estamos  derivando.  Derivemos  esta  función  como  ejemplo:


Para  obtener  la  parcial  con  respecto  a  x,  apliquemos  las  reglas  de  derivación  sobre  la  variable  x,  tratando  a  y  como  a  una  constante:


La  parcial  con  respecto  a  y  sería  esta:

Dado  el  papel  tan  importante  que  tienen  las  funciones  de  varias  variables  en  Economía,  los  economistas  empelan  a  menudo  en  sus  análisis  las  derivadas  parciales.  Pensemos  por  ejemplo  en  la  función  de  producción  de  una  empresa,  que  relaciona  combinaciones  de  capital  y  trabajo  (inputs)  con  el  número  de  unidades  producidas  de  bienes  o  servicios  (outputs)  a  partir  de  los  primeros.  Si  derivamos  la  función  de  producción  con  respecto  al  capital,  obtendremos  la  productividad  marginal  del  capital  (fK),  es  decir,  cuánto  varía  la  producción  cuando  añadimos  una  unidad  más  de  capital  al  proceso  productivo.  Mientras  tanto,  si  derivamos  la  función  con  respecto  al  trabajo,  obtendremos  la  productividad  marginal  del  trabajo  (fL),  esto  es,  cuánto  varía  la  producción  al  emplear  una  unidad  más  de  trabajo.

2.-Derivadas  parciales  de  segundo  orden  y  superior

Al  calcular  las  derivadas  parciales  de  una  función  de  varias  variables  es  posible  obtener  funciones  que  también  son  derivables.  Derivándolas  de  nuevo  obtendré  las  derivadas  parciales  de  segundo  orden.  Si  inicialmente  tenemos  un  campo  escalar  de  dos  variables,  será  posible  calcular  cuatro  derivadas  parciales  segundas:

-Derivada  de  la  parcial  de  x  con  respecto  a  x:


-Derivada  de  la  parcial  de  x  con  respecto  a  y:


-Derivada  de  la  parcial  de  y  con  respecto  a  x:


-Derivada  de  la  parcial  de  y  con  respecto  a  y:


Las  derivadas  parciales  segundas  pueden  ser  reunidas  en  una  matriz  que  conocemos  con  el  nombre  de  hessiana:


Debemos  saber  también  que,  según  el  teorema  de  Schwarz,  si  las  derivadas  parciales  primeras  existen  y  son  funciones  continuas  (lo  serán  a  lo  largo  de  toda  esta  serie),  entonces  las  derivadas  parciales  segundas  cruzadas  son  iguales:


Por  supuesto,  si  volvemos  a  derivar  estas  parciales  segundas  llegaríamos  a  las  parciales  de  tercer  orden,  luego  a  las  de  cuarto  orden,  y  así  sucesivamente...

Pero  para  comprender  el  significado  de  las  parciales  de  segundo  orden,  volvamos  a  la  función  de  producción  que  hemos  mencionado  antes,  f(L, K).  Es  lógico  pensar  que  las  dos  parciales  primeras  de  f  son  mayores  que  0,  puesto  que  lo  natural  al  utilizar  una  unidad  más  de  trabajo  o  capital  es  que  se  dé  un  aumento  de  la  producción.

Realicemos  ahora  la  parcial  fLL,  es  decir,  derivemos  la  parcial  primera  con  respecto  al  trabajo  de  nuevo  con  respecto  a  este  factor.  Si  fLL  es  positiva,  entonces  la  productividad  marginal  del  trabajo  crece  conforme  empelamos  más  unidades  de  trabajo.  En  otras  palabras,  la  aportación  a  nuestra  empresa  de  cada  trabajador  extra  que  contratamos  es  mayor  que  la  del  anterior  conforme  vamos  contratando  más  gente.

Si  fLL  es  0,  la  productividad  marginal  del  trabajo  es  constante,  de  modo  que  todos  los  trabajadores  extra  que  contratemos  aportarán  lo  mismo  a  nuestra  empresa.

Por  último,  si  fLL  es  menor  que  0,  la  productividad  marginal  del  trabajo  es  decreciente,  de  tal  modo  que  cada  trabajador  extra  que  contratemos  aporta  menos  que  el  anterior  (pensando  en  un  bar,  llega  un  momento  en  que  un  camarero  más  en  la  barra  está  sin  hacer  nada,  ya  que  el  resto  de  sus  compañeros  bastan  para  atender  a  todos  los  clientes).

En  cuanto  al  signo  que  presentan  las  derivadas  parciales  de  segundo  orden  cruzadas,  si  fLK  es  menor  que  0,  entonces  la  productividad  marginal  del  trabajo  disminuye  a  medida  que  vamos  utilizando  más  unidades  de  capital.  En  cambio,  si  fLK  es  mayor  que  0,  entonces  la  productividad  marginal  del  trabajo  aumenta  conforme  vamos  usando  más  unidades  de  capital  (se  dice  entonces  que  el  trabajo  y  el  capital  son  factores  complementarios).  Y  si  fLK  es  0,  la  productividad  marginal  del  trabajo  se  mantiene  constante  mientras  aumenta  el  número  de  unidades  de  capital  empleadas.

CONTINUARÁ…

BIBLIOGRAFÍA
  • Clases  de  Matemáticas  I  de  la  Prof.  Dra.  Haydée  Corina  Lugo  Arocha  (Universidad  Complutense  de  Madrid).
  • SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.; CARVAJAL, A.  (2012): Matemáticas  para  el  Análisis  Económico,  Pearson,  Madrid.  


Autor:
Manuel  V.  Montesinos
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